Monday, September 19, 2005

Preguntas de Matemática






INVESTIGACIÓN DE MATEMÀTICA

1. ¿Qué es exponentes, raíces y radicales?

Exponentes: El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.

Raíces: La primer raíz aparece en el año 1525 por CHRISTOFF RUDOLFF (1499-1545).

Se simbolisa → símbolo com travessão


Radicales: Se le llama radical al signo que indica la operación de extraer raíces. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.

paginas Consultadas

http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

http://www.geocities.com/matematicacomprazer/raizquadrada.html

http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml#ra

Referencias Bibliograficas

http://student_star.galeon.com/expyrad01.htm

  • Potencia de base real y exponente entero

Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo.

Ejemplos:

-.Páginas Consultadas.-

- http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias_mac/potencias1.htm

  • Ecuaciones exponenciales

Se llaman ecuaciones exponenciales a las ecuaciones en las que en algún miembro aparece una expresión exponencial (potencia de base constante (número) y exponente variable (x, y, etc). Por ejemplo:

a) 32-x2 = 3

b) 42x+1 = (0,5)3x+5

c) 2x-1 + 2x + 2x+1 = 7

d) ex - 5e-x + 4e-3x =0.

Existen dos tipos de Ecuaciones exponenciales:

-.Primer Tipo.-

En este primer caso se puede observa que los dos miembros de la ecuación contienen un sólo término ("no hay sumas").

Corresponden a este tipo los dos primeros ejemplos:

a) 32-x2 = 3

b) 42x+1 = (0,5)3x+5

-.Segundo Tipo.-

Se trata de ecuaciones exponenciales en las que en algún miembro aparece una suma de expresiones exponenciales que no se puede realizar. Es el caso de las ecuaciones c) y d) del principio.

c) 2x-1 + 2x + 2x+1 = 7

d) ex - 5e-x + 4e-3x =0.

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Ecu_Exp-Log.htm

  • Raíces de números reales.

Números reales son los que se pueden expresar como puntos en la recta real. En general, pueden tener una parte entera y una parte fraccionaria. (La mayor parte de ellos tiene infinitas cifras decimales no periódicas.)

Por ejemplo, estos cinco números son reales: 1, 18.1798013..., -27.3813..., 43 y Pi

Raíz enésima de un número reale:

Sea 0.$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/numeros-reales-julioetall/img1422.gif" width=181 align=middle border=0>Se define a la raíz enésima de a y se denota $a^{1 \over n}, $ como el número real positivo $b$ que cumple la igualda: $b^n \; = \; a.$

Simbólicamente tenemos:

\begin{displaymath}\displaystyle{ a^{ \displaystyle{ 1 \over n} }} \; = \; b \; \Longleftrightarrow ;\ b^n \; = \;
a\end{displaymath}


Ejemplo

a.) $\;\; \displaystyle{ 8^{1\over3}\;=\;2} $ pues $ \displaystyle{ 2^3\;=\;8} $; en este caso decimos que $2$ es la raíz cúbica de $8$

b.) $\;\; \displaystyle{ 625^{1\over4}\;=\;5} $ pues $ \displaystyle{ 5^4\;=\;625} ;$ en este caso decimos que $5$ es la raíz cuarta de $625$

c.) $\;\; \displaystyle{ 49^{1\over2}\;=\;7} $ pues $ \displaystyle{ 7^2\;=\;49} ;$ en este caso decimos que $7$ es la raíz cuadrada de $49$ http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/reales_es.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/numeros-reales-julioetall/node30.html

  • Radicación algebraica:

La raíz enécima de un valor es igual a X si se verifica que X elevado a la enécima potencia es igual a dicho valor.

- Clasificación de radicales
- Propiedades

a) La raíz “n” de un producto es igual a las raíces “n” de cada uno de los factores y reciprocamente.

b) La raíz “n” de un cociente es igual al cociente de la raíz “n” del dividendo dividido la raíz “n” del divisor y reciprocamente.

c) Un radical cuyo índice está dado por el producto de dos factores, puede expresarse como un radical doble que tiene como índice cada uno de los factores y recíprocamente.

d) Si en un radical se multiplica o se divide índice y exponente por el mismo valor, el radical no varía.


- Raíz de un producto, un cociente y de una potencia
- Exponente fraccionario
- Reducción de radicales
- Simplificación de radicales

http://html.rincondelvago.com/operaciones-con-numeros-imaginarios-y-complejos_operaciones-algebraicas.html

http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

  • Operaciones con radicales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/ma_1_operaciones.php

  • Racionalización de radicales en el denominador
  • Radicales simples y compuestos.

2. ¿Qué son los números reales?

  • Propiedades del conjunto de los números reales

    · Conmutativa de adición:

    La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

    Por ejemplo:

    4 + 2 = 2 + 4

    · Conmutativa de multiplicación:

    Por ejemplo:

    4 . 2 = 2 . 4

    · Asociativa de adición:

    La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

    Por ejemplo:

    (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

    · Asociativa de multiplicación:

    Por ejemplo:

    4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

    · Distributiva de multiplicación sobre adición:

    Por ejemplo:

    4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

  • Aproximación y redondeo

Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

  • Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.
  • Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.
  • Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Hemos visto que todos los números resultantes de una medida tienen una cierta incertidumbre. Es necesario eliminar de estos números aquellas cifras que carecen de significado porque el error es mayor que lo que estas cifras significan. A continuación se exponen algunos ejemplos.

El resultado de la medición de una temperatura se expresa en la forma


\begin{displaymath}
T = 301,267 \pm 0,3 K
\end{displaymath}

Incorrecto, puesto que las dos últimas cifras (67) no tienen significado alguno, al ocupar una posición menor que el error. La forma de expresar el resultado anterior podría ser


\begin{displaymath}
T = 301,2 \pm 0,3 K
\end{displaymath}
aunque la forma correcta es:

\begin{displaymath}
T = 301,3 \pm 0,3 K
\end{displaymath}

puesto que 301,267 está más cerca de 301,3 que de 301,2.

Tampoco es correcto presentar la medida, por ejemplo de una velocidad, en la forma


\begin{displaymath}
v=84,62 \pm 0,482 m/s
\end{displaymath}
puesto que no es posible estimar un error con tanta precisión. Lo razonable es escribir:


\begin{displaymath}
v= 84,6 \pm 0,5 m/s
\end{displaymath}
Pueden también expresarse los resultados anteriores en la forma

\begin{displaymath}
T = 301 K \ ;\ v=84 m/s
\end{displaymath}
añadiendo que todas las cifras son significativas. No es sin embargo aconsejable, puesto que se pierde algo de información.

Si se quieren presentar los resultados anteriores con los errores relativos, puede escribirse


\begin{displaymath}
v= 84,6 \pm 0,6 \% \ ;\ T=301,3 \pm 0,1\%
\end{displaymath}
  • Operaciones con números reales: adición, sustracción, multiplicación, división

Adición y Sustración de Reales:

· Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo.

Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera...

-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.

· Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ej: 5 – 3 = 2

-5 + 3 = -2

En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2.

Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma nemotécnica para que aprendas a sumar y restar.

Mira estos otros ejemplos:

-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3

7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3

-4-2-5-10= -21

4+2+5+10= 21

-4+5-10-20+15-7+9

Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:

-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29

Y luego restar:

-41+29 = -12

Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

Multiplicación y División:

Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que:

+

x

+

=

+

-

x

-

=

+

+

x

-

=

-

-

x

+

=

-

Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:

-5*-3 = -15

-5*3 = -15

5*3 = 15

5*-3 = -15

15÷5 = 3

-15÷5 = -3

15÷-5 = -3

-15÷5 = -3

  • Valor absoluto en R

Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$ y supongamos que $a\leq b$; se llama distancia entre $a$ y $b$, al número no negativo $b-a$.


Propiedades

Intervalos en R

Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados:

Intervalos acotados:

  • Intervalo abierto (a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a.

  • Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a£x£b.

  • Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa a£x

  • Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a.

    3. ¿Cómo calculo el perímetro y área de las distintas figuras geométricas?

  • Cuadrado:
  • Rectángulo:
  • Triángulo:
  • Paralelogramo:
  • Pentágono
  • Hexágono
  • Círculo

4. ¿Cómo calculo el volumen, área lateral y total de los diferentes sólidos?

  • Cubo: Un CUBO es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.

    El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura:

    Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:

    Vcubo = ( 3 cm ) 3 = 33 cm3 = 27 cm3

    Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

V = a3

  • Paralelepípedo: Un PARALELEPÍPEDO es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del

    cuerpo entonces es le denomina PARALE­LE­PÍ­PEDO RECTO sino es un PARALELE­PÍPE­DO OBLICUO.

    El volumen del paralelepípedo recto se calcula multipli­cando las longitu­des de las tres aristas convergentes a un vértice. Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6:

    Vparalelepípedo = (2 cm · 3 cm · 6 cm ) = 36 cm3

    Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

V = a . b . c

  • Prismas:

Un solido con las siguientes caracteristicas es un prisma.

1.2.La a caras que no son las bases. llamadas caras laterales, estan formadas por paralelogramos.

3.La interseccin de dos caras laterales adjacentes son llamadas bordes laterales y son segmentos paralelos.

  • Pirámides: Una PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA es aquella cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el vértice de la pirámide es perpendicular al plano de su base. Además, la longitud h de ese segmento se llama altura de la pirámide. Ver figura adjunta:

    El volumen de la pirámide recta de base cuadrada se obtiene dividiendo por tres al producto entre su área basal a2 y su altura h, es decir:

Vpirámide= a2.h / 3

  • Cilindro: Un CILINDRO RECTO, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos círculos, y por una superficie que las rodea por su borde, como muestra la figura adjunta.

    El volumen de un CILINDRO RECTO de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h.

    Sabemos que el área de un círculo de radio r es:

    Acírculo = p · r2

    El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir:

    Vcilindro = Acírculo · h

o sea: V= p. r2 . h

  • Cono: La figura siguiente muestra un cono recto de radio basal r y altura h. La base del cono es un círculo, cuya área es:

    Acírculo = p · r2

    El volumen del CONO RECTO corresponde a la tercera parte del producto entre el área de su base y su altura, es decir:

V= p . r2 . h / 3

  • Esfera: El volumen de una esfera de radio r se obtiene a través de la fórmula:

V = 4/3 . p . r3

  • ….
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/volumen_desarrollo.htm http://salonhogar.com/matemat/geometria/s/s.prism.html --> prismas


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